Przed maturą - Zestaw XI Ciągłość i pochodna funkcji, Matematyka. Przed maturą

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Matura 2005
Z
ADANIA DO POWTARZANIA PRZED MATUR
Ą
Zestaw XI Ci
ą
gło
ść
i pochodna funkcji
Zadanie 1.
Naszkicuj wykres funkcji
f
określonej następująco:
max
5
-
x
,
6
dla
x
¹
0
f
(
x
)
=
x
0
dla
x
=
0
i zbadaj jej ciągłość, jeśli relacja max(
a
,
b
) jest określona w następujący sposób:
a
,
b
)
=
a
,
gdy
a
³
b
b,
gdy
a
<
b
Zadanie 2.
Uzasadnij, Ŝe równanie
x
4
+
x
3
-
3
x
2
-
5
x
-
10
=
0
ma co najmniej jedno rozwiązanie.
Zadanie 3.
Oblicz na podstawie definicji pochodną funkcji
f
(
x
)
=
x
2
+
2
x
-
1
w punkcie
x
=
-
1
.
0
Zadanie 4.
Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji
g
(
x
)
=
x
+
1
, równoległej do prostej o równaniu
x
y
. Następnie zilustruj rozwiązanie zadania na płaszczyźnie z prostokątnym układem
współrzędnych.
=
-
1
x
+
1
x
i wskaŜ przedziały o długości 1
i o końcach będących liczbami całkowitymi, do których naleŜą te rozwiązania.
3
+
6
x
2
+
9
x
+
1
=
0
Zadanie 6.
WykaŜ, Ŝe dla kaŜdej liczby
x
³
2
prawdziwa jest nierówność:
1
x
2
+
x
1
³
5
.
2
Zadanie 7.
3
x
2
+
4
x
+
4
Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji
h
(
x
)
=
w przedziale
-
2
1
.
x
2
+
x
+
1
30 . W trójkąt wpisujemy równo-
ległoboki w ten sposób, Ŝe jednym z wierzchołków kaŜdego równoległoboku jest A, a pozostałe 3
wierzchołki naleŜą odpowiednio do boków
AB
,
BC
i
AC
trójkąta. Który z tych równoległoboków
ma największe pole i ile procent pola danego trójkąta stanowi pole tego równoległoboku?
°
Zadania dla poziomu rozszerzonego wyróŜnione są kursywą.
max(
4
Zadanie 5.
Zbadaj, ile rozwiązań ma równanie
Zadanie 8.
Dany jest trójkąt
ABC
, w którym
AC
=
b,
AB
=
c
i kąt
CAB
ma
Matura 2005
Odpowiedzi:
5
-
x
,
dla
x
<
0
lub
2
£
x
£
3
1.
0
dla
x
=
0
6
dla
0
<
x
<
2
lub
x
>
3
x
PoniewaŜ funkcje
g
(
x
)
= 5
-
x
i
h
(
x
)
=
6
są ciągłe, więc wystarczy zbadać ciągłość funkcji
f
x
w punktach: 0, 2 i 3. Odp. Funkcja nie jest ciągła w punkcie
x
= 0
2.
Łatwo moŜna sprawdzić, Ŝe
W
(2) < 0 i
W
(3) > 0 (
W
(
x
) to wielomian po lewej stronie równania).
Stąd, z ciągłości funkcji wielomianowej, wynika, Ŝe w przedziale (2,3) istnieje rozwiązanie da-
nego równania
f
4.
Są dwie takie styczne:
'
(
-
1
=
0
5.
Równanie ma trzy rozwiązania naleŜące do przedziałów: (
y
=
-
1
x
+
2
i
y
=
-
1
x
4,
-
3); (
-
3,
2); (
-
1, 0)
1
6.
Wskazówka
: RozwaŜ najpierw funkcję
f
(
x
)
=
1
x
2
+
i wykaŜ, Ŝe w przedziale
2
¥
)
jest to
x
f
7.
Największą wartością jest 4, a najmniejszą
8
funkcja rosnąca. Następnie oblicz
(
2
)
8.
Największe pole ma równoległobok o bokach
b
,
c
i stanowi ono 50% pola danego trójkąta
2
2
3.
4
4
-
-
[ Pobierz całość w formacie PDF ]