Przedmioty matematyczne, STUDIA NOTATKI, KOGNITYWISTYKA UMK

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Spór o uniwersalia a spór o sposób istnienia przedmiotów matematycznych
Źródło
: Roman Murawski:
Filozofia matematyki: Zarys dziejów
, Warszawa 2001, s. 176-181
Zanim jednak przystąpimy do właściwych rozważań, zauważmy, że słowo "zbiór" ma w języku
potocznym dwa wyraźnie różne znaczenia, określane odpowiednio jako znaczenie kolektywne i znaczenie
dystrybutywne. W znaczeniu kolektywnym zbiór pewnych przedmiotów to całość złożona z tych
przedmiotów. To znaczenie słowa "zbiór" mamy na myśli mówiąc, że biblioteka jest zbiorem książek, czy
że łańcuch jest zbiorem ogniw. W tym znaczeniu zbiór konkretnych, zmysłowo postrzegalnych
przedmiotów jest więc pewnym innym, konkretnym, zmysłowo postrzegalnym obiektem. Zwrot
"x
jest
elementem zbioru
A"
znaczy tu tyle, co "
x
jest częścią zbioru
A".
Teoria zbiorów w sensie kolektywnym
została skonstruowana przez logika polskiego Stanisława Leśniewskiego (1886-1939) i nazwana
mereologią.
Drugie znaczenie słowa "zbiór" to znaczenie dystrybutywne. Przy tym znaczeniu zdanie "Wenus
jest elementem zbioru planet Układu Słonecznego" znaczy tyle, co "Wenus jest planetą Układu
Słonecznego", a zdanie "3 jest elementem zbioru liczb naturalnych" - tyle, co "3 jest liczbą naturalną".
Zbiór w sensie dystrybutywnym nie musi być zatem zmysłowo postrzegalnym przedmiotem, nawet jeśli
jego elementy są takimi przedmiotami.
Dwa opisane znaczenia są różne, o czym świadczy w szczególności fakt, że pewne zdania są
prawdziwe przy jednym ze znaczeń słowa "zbiór", a fałszywe przy drugim. Weźmy dla przykładu zdanie:
"Piąta część Wenus jest elementem zbioru planet Układu Słonecznego". Jest ono prawdziwe w przypadku
kolektywnego sposobu pojmowania zbioru, a fałszywe w przypadku jego pojmowania w sposób
dystrybutywny. Zauważmy, że relacja bycia elementem zbioru jest przechodnia przy kolektywnym
rozumieniu słowa "zbiór", a nie jest taka przy rozumieniu dystrybutywnym. W. V. O. Quine pisze na
temat tego rozróżnienia znaczeń słowa "zbiór" tak oto: "Fakt, że zbiory są bytami abstrakcyjnymi, jest
niekiedy zaciemniany przez mówienie o zbiorach jako agregatach lub zbiorowiskach [a więc w sensie
kolektywnym - uwaga moja,
R. M.
]
,
przez co upodobnia się na przykład zbiór kamieni do stosu kamieni.
Stos jest rzeczywiście konkretnym przedmiotem, tak konkretnym, jak kamienie, które go tworzą; jednakże
zbiór kamieni w stosie nie może być utożsamiony z tym stosem. Gdyby tak było, to inny zbiór mógłby
być utożsamiony z tym samym stosem; mianowicie zbiór molekuł kamieni w stosie. Lecz w istocie zbiory
te muszą być rozróżnione; chcemy bowiem powiedzieć, że jeden z nich ma na przykład sto elementów,
podczas gdy drugi ma ich tryliony. Zbiory są więc przedmiotami abstrakcyjnymi"
(From a Logical Point
oj View,
s. 114; por. Z
punktu widzenia logiki,
s. 157).
Teoria mnogości zajmuje się zbiorami w sensie dystrybutywnym. Takie właśnie pojęcie zbioru
jest przydatne w matematyce. Pojawia się tu jednak od razu pytanie, czy i jak istnieją zbiory w sensie
dystrybutywnym. Okazuje się, że pytanie to ma wiele wspólnego ze znanym z historii filozofii sporem o
uniwersalia (powszechniki).
Problem powszechników sformułowany został po raz pierwszy przez Platona. Sprowadza się on
do pytania, co odpowiada pojęciom ogólnym, jak "prosta", "liczba" czy też "człowiek", "dobro", "piękno".
Odpowiedzi, których udzielano, możemy podzielić na cztery grupy. Będą to jednocześnie cztery
zasadnicze stanowiska w sporze o uniwersalia.
Platon może być uważany za twórcę realizmu skrajnego, głoszącego, że powszechniki istnieją
samodzielnie i samoistnie, niezależnie od przedmiotów jednostkowych. W ontologii Platona powszechniki
są ideami, a więc w szczególności obiektami zmysłowo niepoznawalnymi. Tak więc na przykład obok,
czy lepiej: poza poszczególnymi ludźmi istnieje człowiek jako taki, człowiek w ogóle (u Platona - idea
człowieka).
Stanowiskiem mniej skrajnym jest zapoczątkowany przez Arystotelesa realizm umiarkowany.
Głosi on, że uniwersalia istnieją obiektywnie, ale nie samodzielnie, lecz jedynie jako własności
1
konkretnych jednostkowych przedmiotów. Zatem człowiek jako taki, człowiek w ogóle, to nie jakiś
samodzielny byt, ale zespół istotnych cech wspólnych wszystkim ludziom i tylko im, a więc cech dla nich
charakterystycznych.
Oba te stanowiska szukają uniwersaliów w rzeczywistości zewnętrznej wobec poznającego
podmiotu. W średniowieczu pojawiła się w ramach filozofii chrześcijańskiej inna koncepcja, zwana
konceptualizmem. Jej autorem jest Johannes Roscelin (ok. 1050-ok. 1120), zakonnik z Compiegne.
Według tej koncepcji, uniwersalia istnieją tylko w umyśle ludzkim, są tylko pojęciami (stąd też nazwa
owej teorii wywodzona od łacińskiego słowa
conceptus -
pojęcie). Nie istnieją więc rzeczywiste obiekty
takie jak człowiek jako taki, czy prosta jako taka. Istnieją (w umyśle) tylko pojęcia "człowiek" i "prosta".
Jeszcze dalej poszedł Wilhelm Ockham (przed 1300-1349/1350). Jego stanowisko określa się jako
nominalizm. Według niego, nie istnieją ani powszechniki, ani pojęcia ogólne - istnieją tylko przedmioty
jednostkowe. Twierdzenie, że istnieje cokolwiek poza tymi ostatnimi, ma swe źródło w dezinterpretacji
języka, którym się posługujemy. Zgodnie z tym nie istnieje ani człowiek jako taki, ani pojęcie człowieka,
a jedynie nazwa ogólna "człowiek" (stąd też nazwa: nominalizm, wywodzona od łacińskiego
nominalis
-
dotyczący imienia, nazwy).
Spór o powszechniki żywy był zwłaszcza w średniowieczu (w szczególności w związku z
różnymi kwestiami teologicznymi), ale aktualny jest i dziś, choć w nieco zmienionej postaci. Kazimierz
Ajdukiewicz pisze: "Współczesna postać tego zagadnienia wyraża się mianowicie w pytaniu, czy nauki
aprioryczne, a więc takie nauki, jak na przykład matematyka, badają jakiś w pełni rzeczywisty, choć
zupełnie od świata danego nam w doświadczeniu zmysłowym odrębny świat tzw. tworów idealnych, jak
na przykład liczby, funkcje matematyczne itp., który istnieje w sposób zupełnie od naszego umysłu
niezależny, czy też świat taki w ogóle nie istnieje"
(Zagadnienia i kierunki filozofii,
s. 124). Biorąc pod
uwagę fakt, że wszystkie (występujące w chwili obecnej) pojęcia matematyczne dadzą się zdefiniować w
terminach teorii mnogości, a zatem dadzą się w końcu sprowadzić do pojęcia zbioru, rozważane pytanie
redukuje się do pytania o istnienie i o sposób istnienia zbiorów.
Trzy z wymienionych wyżej zasadniczych stanowisk w sporze o uniwersalia mają swe
odpowiedniki wśród stanowisk w kwestii istnienia zbiorów. Określa się je jako platonizm, (neo)
konceptualizm i (neo)nominalizm.
Podstawową tezą platonizmu jest twierdzenie, że istnieją wszystkie i tylko te przedmioty, które są
niesprzeczne, że dla każdej poprawnie sformułowanej własności niesprzecznej istnieje zbiór dokładnie
tych przedmiotów, które tę własność posiadają, i co więcej: zbiór ten jest odrębnym bytem istniejącym
podobnie jak jego elementy, przy czym jego istnienie nie sprowadza się do istnienia jego elementów. Dla
uniknięcia antynomii nakłada się czasem pewne ograniczenia na owe własności (jak to ma na przykład
miejsce w aksjomacie wyróżniania w systemie Zermela-Fraenkla, o czym powiemy poniżej, czy w teorii
typów - por. rozdział 11.1). Teoria mnogości, a w konsekwencji cała matematyka, staje się w ten sposób
nauką o tych pełnoprawnych i samodzielnie istniejących obiektach i jej zadaniem jest opisanie tych
właśnie przedmiotów (tak jak na przykład zadaniem zoologii jest opisanie świata zwierząt). Dodajmy
jednak, że tezy platonizmu nie pociągają za sobą bynajmniej tego, iż zbiory utożsamiane muszą być z
ideami w sensie Platona. Twierdzi się tylko, że są one obiektami istniejącymi podobnie jak należące do
nich elementy, że istnieją nie tylko przedmioty jednostkowe, ale i różne od nich zbiory takich przed-
miotów. Stanowisko to reprezentuje we współczesnej filozofii matematyki na przykład Kurt Gödel, który
pisał: "Klasy i pojęcia mogą być pojmowane jako rzeczywiste obiekty istniejące niezależnie od naszych
definicji i konstrukcji. (...) Wydaje mi się, że założenie istnienia takich obiektów jest tak samo
uzasadnione jak przyjęcie istnienia ciał fizycznych, a jest przecież wiele racji, by przyjąć ich istnienie"
(Russell's Mathematical Logic,
s. 137).
Neokonceptualiści twierdzą, że istnieją tylko te zbiory, i ogólnie: obiekty matematyczne, które są
konstruowalne, tzn. które można skonstruować ze zbiorów, których istnienie jest intuicyjnie oczywiste.
Należy zatem odrzucić wszelkie aksjomaty postulujące istnienie obiektów nie dających się
scharakteryzować konstruktywnie. A zatem stanowisko to jest ściśle związane we współczesnej filozofii
matematyki z konstruktywizmem. Zauważmy tu jeszcze, że z punktu widzenia ontologii można wyróżnić
trzy wersje konstruktywizmu: (1) obiektywistyczną, w której konstrukcje są traktowane jako twory
2
istniejące niezależnie od podmiotu, (2) mentalistyczną, w której konstrukcje uważane są za wytwory
aktów myślowych osób uprawiających matematykę, oraz (3) finitystyczną, która dopuszcza tylko
efektywne przekształcenia obiektów czasowo-przestrzennych (napisów). Stanowisko konceptualistyczne
reprezentuje na przykład intuicjonizm (por. rozdział 11.2).
Trzecie wreszcie stanowisko to neonominalizm, który głosi, że istnieją tylko przedmioty
jednostkowe i że wszelkie wypowiedzi o innych obiektach, na przykład o zbiorach, można zinterpretować
jako wypowiedzi o indywiduach. Powstaje oczywiście pytanie o indywidua i ich istnienie. W związku z
tym wyróżnia się neonominalizm formalny i neonominalizm merytoryczny. Przedstawicielem pierwszego
jest na przykład N. Goodman, który tak go charakteryzuje: ,,[Nominalizm formalny] odrzuca zbiory jako
byty trudne do zrozumienia, ale jako indywidua dopuszcza obiekty jednostkowe jakiejkolwiek natury. (...)
Wymaga on tylko tego, aby wszystko, co jest dopuszczane jako istniejące w ogóle, było traktowane jako
przedmiot indywidualny"
(A World of lndividuals,
s. 17). Nominalizm merytoryczny z kolei wyróżnia
pewne przedmioty indywidualne i tylko takie przedmioty dopuszcza, odrzucając jednocześnie obiekty -
nawet jednostkowe - innego typu. Przykładem takiego nominalizmu może być reizm Tadeusza Kotarbiń-
skiego (1886-1981), głoszący, że istnieją tylko rzeczy fizyczne (ciała).
Zauważmy, że nie ma swego odpowiednika w filozofii matematyki stanowisko realizmu
umiarkowanego. Zgodnie z nim bowiem należałoby traktować zbiory jako własności. W konsekwencji
więc zbiory istniałyby tak, jak istnieją atrybuty, czyli w sposób niesamodzielny i pochodny względem
rzeczy, których są atrybutami. Natrafiamy tu jednak na trudność związaną z istnieniem tzw. cech
koekstensywnych, tzn. cech różnych, a wyznaczających ten sam zbiór przedmiotów - cechy te należałoby
utożsamiać.
Dodajmy jeszcze, że w kwestii sposobu istnienia zbiorów, i ogólnie przedmiotów matematyki,
możliwe jest jeszcze jedno stanowisko. Otóż kwestię tę można traktować jako typowy pseudoproblem
filozoficzny, którego takie czy inne rozwiązanie nie będzie nigdy miało wpływu na praktykę badawczą w
matematyce. Taką postawę zajmował na przykład Rudolf Carnap (1891-1970).
3
[ Pobierz całość w formacie PDF ]