Przestrzen Topologiczna, Matematyka studia, Topologia

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
0.1 Przestrzenie topologiczne
0.1.1 Bazy igenerowanie topologii
Przestrze« topologiczna
, to para (
X;
T
) zªo»ona ze zbioru
X
i z pewnej
rodziny
T
jego podzbiorów (zwanych
zbiorami otwartymi
). O rodzinie
T
zakªadamy,»ejestona:
(1
) zamkni¦tazewzgl¦dunaoperacj¦braniadowolnychsum:
[
U2T
(
8UT
)
;
(2
) zamkni¦tazewzgl¦dunaoperacj¦braniasko«czonychprzeci¦¢,tzn.
\
W2T
(
8WT
;
#
W
<
1
)
;
;
=
;
wskazuje,»e
;
oraz
X
s¡zawszezbiorami
otwartymi.Topologi¦
f;
;X
g
nazywamytopologi¡
trywialn¡,najsªabsz¡
lub
antydyskretn¡
,za±rodzin¦2
X
{
topologi¡ dyskretn¡
.
Topologi¦
T
1
nazwiemy
sªabsz¡
odtopologii
T
2
,gdy
T
1
T
2
,za±
topo-
logi¡generowan¡
nazbiorze
X
przezrodzin¦zbiorów
G
2
X
nazwiemy
najsªabsz¡ z topologii zawieraj¡cych
G
. Rodzin¦
U
nazwiemy
baz¡
topolo-
gii
T
, gdy dowolny zbiór otwarty
W
2T
mo»na zapisa¢ w postaci
T
;
=
X
,
S
U
1
dla
pewnej
U
1
U
. Zbiór
E
X
nazwiemy
otoczeniem punktu
x
0
2
X
,
za±
x
0
-
punktem wewn¦trznym
zbioru
E
, zapisuj¡c ten fakt symbolem
x
0
2
int(
E
)lub
x
0
2
int
T
(
E
),gdyistnieje
W
2T
taki,»e
x
0
2
W
E
.
Okre±lonywtensposóbzbiórint(
E
)nazwiemy
wn¦trzem
zbioru
E
.
S
Zadanie0.1.
Niech
T
cf
=
T
cf
(
Z
):=
f;g[f
E
Z
:#(
Z
n
E
)
<
@
0
g
dla
ustalonegozbioru
Z
.Wykaza¢,»ejesttorodzinazbiorówotwartychwpewnej
topologii(ÿ
co-nite topology"
), któraniejestdyskretnagdyzbiór
Z
jestnie-
sko«czony.Znale¹¢pewn¡minimaln¡(wzgl¦demrelacji
)rodzin¦generuj¡c¡
dlatejtopologiiipewn¡ró»n¡od
T
cf
baz¦.Okre±li¢te»,jakwygl¡daoperacja
braniadomkni¦ciazbioru
A
Z
wtejtopologii(wzale»no±ciodmocyzbioru
A
). Analogicznie, zamieniaj¡c warunek #(
Z
n
E
)
<
@
0
na #(
Z
n
E
)
¬ @
0
otrzymamytopologi¦"ko-przeliczaln¡"
T
cc
.
Zadanie0.2.
Wykaza¢, »eprzeci¦cia sko«czonejilo±ci zbiorów nale»¡-
cychdorodziny
G
2
X
tworz¡rodzin¦(oznaczmyj¡symbolem
G
d
)stanowi¡c¡
baz¦topologiigenerowanejprzez
G
.
coprzykonwencji:
R tworz¡ baz¦ topologii?
Opisa¢ topologi¦
T
left
generowan¡ przez t¦ rodzin¦. Analogicznie,
T
left
[
;
]
-generowana przez
f
(
1
;t
)
\
[
;
]
; t
2
g
nazywana bywa
lewostronn¡
topologi¡
naprzedziale[
;
].Jakiezbiorys¡tuotwarte?
R
Zadanie 0.4.
Opisa¢topologie
T
d
(odp.
T
arrL
ÿ
lewejstrzaªki
")gene-
rowanena R przezrodziny
E
1
:=
f
[
a;b
]:
a < b
g
(odp.
E
2
:=
f
(
a;b
]:
a < b
g
).
Zadanie 0.5.
Opisa¢wn¦trzazbioru
A
wtopologiach
T
cf
,
T
d
oraz
T
arrL
.
Zadanie 0.6.
Gdytopologia
T
1
jestsªabszaodtopologii
T
2
,ustali¢in-
kluzjemi¦dzywn¦trzamiint
T
j
(
E
)ustalonegozbioruwzgl¦demtychtopologii.
Zadanie 0.7.
Wykaza¢, »e operacja brania wn¦trza zbioru ma nast¦-
puj¡ce wªasno±ci: int(int(
E
)) = int(
E
)
;
int(
E
\
F
) = int(
E
)
\
int(
F
) oraz
int(
E
)
[
int(
F
)
int(
E
[
F
),przyczymostatniainkluzjamo»eby¢ostra.
Rodzin¦
W T
nazwiemy
baz¡ otocze«
(otwartych)
punktu
x
0
, gdy
[
W
2W)
x
0
2
W
ika»deotoczenie
x
0
zawierapewienzbiór
U
2W
].
Zbiór
F
X
nazwiemy
domkni¦tym
,gdy
F
c
:=
X
n
F
2T
.
Domkni¦-
cie zbioru
A
X
,oznaczanesymbolem
A
,lubcl(
A
),czyte»cl
T
(
A
),jestto
najmniejszydomkni¦tynadzbiórzbioru
A
.Podzbiór
D
przestrzeni
X
nazwie-
my
g¦stym
,gdy
D
=
X
.
Brzegiem
topologicznymzbioru
A
nazywamyzbiórFr(
A
):=
A
\
X
n
A
.
Punkt
x
0
jest
punktem skupienia
zbioru
E
, gdy
x
0
2
E
nf
x
0
g
.
S¡-
siedztwo punktu
x
0
tozbiórpostaci
U
nf
x
0
g
,gdzie
x
0
2
int(
U
).
Szczególne znaczenie odgrywaklasa
przestrzeni Hausdora
(tzw. T
2
-
przestrzeni), wktórychdowolne dwaró»nepunkty(
x;y
2
X; x
6
=
y
)mo»na
rozdzieli¢przezzbioryotwarte
U;W
wtymsensie,»e
x
2
U; y
2
W; U
\
W
=
;
.
Zadanie 0.8.
Opisa¢ topologi¦
T
2
-przestrzeni, w której ka»dy punkt
masko«czon¡baz¦otocze«.
Zadanie 0.9.
Wykaza¢,»egdy
B
jestbaz¡topologii
T
,tobaz¡otocze«
punktu
x
jestrodzina
B
x
:=
f
W
2B
:
x
2
W
g
.Naodwrót:gdy
D
=
X
idla
x
2
D
mamy
A
x
T
{ bazy otocze« punktów
x
, to sprawdzi¢, czy zawsze
rodzina
A
x
musiby¢baz¡dla
T
(por.zad.0.24).
x
2
D
Zadanie 0.3.
Czy przedziaªy (
1
;t
)
; t
2
S
Zadanie0.10.
Czy
X
S
x
2
D
U
x
,gdy
D
=
X
idla
x
2
D x
2
U
x
2T
?
x
otocze« punktu
x
. Wykaza¢, »e
x
62
cl
T
(
A
) wtedy i tylko
wtedygdyistniejeotoczenie
W
2B
x
tegopunkturozª¡cznezezbiorem
A
.
Zadanie0.12.
Gdyka»des¡siedztwopunktu
x
0
mapunktywspólneze
zbiorem
A
,to
x
0
jest punktemskupieniazbioru
A
.Wykaza¢,»ewprzestrzeni
Hausdorajedyniezbioryniesko«czoneposiadaj¡punktyskupienia.Ponadto
doª¡czenie do zbioru
A
wszystkich jego punktów skupienia daje domkni¦cie
zbioru
A
.Zbada¢punktyskupieniawprzypadkutopologii:
T
cf
orazdyskretnej.
Zadanie0.13.
Zbada¢odpowiednikiwªasno±cizzadania0.7dlaopera-
cjidomkni¦ciazbioruidlaoperacjibraniazbiorupunktówskupienia.Ponadto
wykaza¢,»egdy
U
jestzbioremotwartym,to
U
\
A
U
\
A
=
U
\
A
.
0.1.2 Przestrzeniemetryczne, rodzinysemimetryk
R
+
zwanasemimetryk¡,speªniapostulaty:
d
(
x;x
)=0,
d
(
x;y
)=
d
(
y;x
)oraz
d
(
x;z
)
¬
d
(
x;y
)+
d
(
y;z
)(nierówno±¢trójk¡ta).Zast¡-
pieniewarunku
d
(
x;x
)=0przez
d
(
x;y
)=0
,
x
=
y
dajedenicj¦
metryki
.
Topologi¡ (semi)metryki
d
nazwiemytopologi¦generowan¡przezrodzin¦
B
=
f
B
d
(
x;r
):
x
2
X;r >
0
g
wszystkichkul.Przypomnijmy,»ekula
B
(
x;r
)
lub
B
d
(
x;r
),tozbiór
f
y
2
X
:
d
(
x;y
)
< r
g
.Ozbiorach,którezawieraj¡si¦w
jakiej±kulimówimy,»es¡
ograniczone
.Topologia
metryzowalna
,totopo-
logia, któr¡mo»naokre±li¢przezpewn¡metryk¦.
Topologia naturalna
w
przestrzeni R
k
lub C
k
,totopologia
metryki euklidesowej
q
d
((
a
1
;:::;a
k
)
;
(
b
1
;:::;b
k
))=
j
b
1
a
1
j
2
+
:::
+
j
b
k
a
k
j
2
:
Topologi¡rodzinysemimetryk
f
d
j
g
j
2
J
jesttopologiagenerowanaprzez
wszystkiekulepostaci
B
d
j
(
x;r
),gdzie
x
2
X;r >
0
;j
2
J
.
Zadanie0.14.
W przestrzeni metrycznej baz¡ otocze« punktu
x
0
jest
f
B
(
x
0
;r
):
r
2
D
g
,oile
D
(0
;
+
1
)
;
inf
D
=0.
Zadanie0.11.
(Lokalna charakteryzacjadomkni¦cia)Ustalmy
dowolnie baz¦
B
Najprostszym,podstawowymprzykªademprzestrzenitopologicznychs¡
prze-
strzenie metryczne
(ogólniej:
semimetryczne
), czyli pary (
X;d
), gdzie
funkcja
d
:
X
X
!
Zadanie 0.15.
Dla
j
=1
;
2niech
T
j
b¦dzietopologi¡metryki
d
j
na
X
j
.
Gdy
F
:
X
1
!
X
2
jest
izometri¡
, tzn.
d
1
(
x;y
) =
d
2
(
F
(
x
)
;F
(
y
))
8
x;y
{
wykaza¢,»edlapodzbiorów
A
przestrzeni
X
1
mamyint
T
2
F
(
A
)
F
(int
T
1
(
A
)),
arówno±cizachodz¡gdyizometriatajestsuriekcj¡,czyligdy
F
(
X
1
)=
X
2
.
Zadanie 0.16.
Domkni¦cie kuli:
B
d
(
x;r
) mo»e by¢ mniejsze od tzw.
\kulidomkni¦tej",czyliod
B
d
(
x;r
):=
f
y
:
d
(
x;y
)
¬
r
g
.Poda¢przykªad.
Zadanie 0.17.
Czyka»dypodzbiórniepustyustalonegozbiorujestkul¡
opromieniu1wzgl¦dempewnejmetrykiprzyjmuj¡cejjedynie3warto±ci?
Zadanie 0.18.
Wykaza¢,»epodzbiór
E
jestograniczonywsemimetryce
d
wtedyitylkowtedy,gdywielko±¢diam(
E
):=sup
f
d
(
a;b
):
a
2
E
3
b
g
,czyli
tzw.
±rednica zbioru
E
jestliczb¡sko«czon¡.
g
n
=1
, za±
E
0
:=
E
[f
0
g
.Zbioryterozwa»amyztopologi¡naturaln¡,czylipochodz¡c¡
odmetryki
d
(
s;t
):=
j
t
s
j
.Jakiezbiorys¡otwartewtychprzestrzeniachijak
wygl¡daint(
A
)dla
A
E
0
,odp.dla
A
E
(rozwa»y¢przypadki).
Zadanie 0.20.
Wykaza¢, »e przestrze«zsemimetryk¡
d
mawªasno±¢
Hausdorawtedyitylkowtedy,gdy
d
jestmetryk¡.Ponadtowarunektenjest
te»równowa»nydomkni¦to±cijejwszystkichsko«czonychpodzbiorów.
Zadanie 0.21.
Wykaza¢,»etopologii
T
cf
niemo»nazdeniowa¢przez
»adn¡semimetryk¦.
Zadanie 0.22.
Wprowad¹myfunkcj¦odlegªo±ciodzbioru:dist
d
(
x;E
):=
inf
f
d
(
x;e
):
e
2
E
g
.Przyu»yciutejfunkcjiopisa¢operacjetopologiczne:wn¦-
trza,brzeguidomkni¦cia.Wykaza¢np.,»e
E
=
f
x
2
X
:dist
d
(
x;E
)=0
g
.
Zadanie 0.23.
Wprowadzi¢ mo»emy nast¦puj¡cetrzypoj¦ciaodlegªo-
±cimi¦dzyograniczonymipodzbiorami
A;B
przestrzeni
X
zmetryk¡
d
:Niech
dist(
A;B
):=inf
f
d
(
a;b
):
a
2
A;b
2
B
g
,
l
(
A;B
):=sup
f
dist(
a;B
):
a
2
A;
g
oraz
(
A;B
)=
d
(
A;B
):=max
f
l
(
A;B
)
;
l
(
B;A
)
g
.Tylkojednaztychwiel-
ko±ciokre±lasemimetryk¦.Wykaza¢,»e
-takzwana
odlegªo±¢Hausdora
jestmetryk¡narodziniepodzbiorówdomkni¦tychiograniczonych.
Zadanie 0.19.
Niech
E
b¦dzie zbiorem wyrazów ci¡gu
f
1
n
Q
k
niech
U
n
+
q
:=
f
x
+
q
:
x
2
U
n
g
b¦dzieprzesuni¦ciemrównolegªym zbioru
U
n
otenwektor.Czyotrzymamywtensposóbbaz¦topologii-bior¡crodzin¦
B
0
:=
f
U
n
+
q
:
n
2
N
;
q
2
Q
n
g
(je±litak,tojakiejtopologii?).
Zadanie0.25.
Wzbiorze
X
liczbzespolonych
z
takich,»e
=
z
6
=0lub
z
=0okre±lmyfunkcj¦
d
(
z;w
)równ¡
j
z
w
j
gdy
=
z
=
w
­
0orazrówn¡
j
z
j
+
j
w
j
gdypunkty
z;w
le»¡wdwuró»nychpóªpªaszczyznach.Sprawdzi¢,»ejestto
metryka,którejtopologiajesttakasama,jaktopologiametrykieuklidesowej,
chocia» jej kule maj¡ do±¢ nietypow¡ posta¢. Zinterpretowa¢ mo»na
d
(
x;y
)
jakonajkrótsz¡drog¦ª¡cz¡c¡tepunktywsytuacji,gdys¡topunktymiasta
przedzielonegorzek¡,naktórejznajdujesi¦tylkojedenmost(ozaniedbywalnej
dªugo±ci)usytuowanywpunkciezero.Rzek¡jesto±rzeczywista.(
=
z
=cz¦±¢
urojonaliczby
z
2
Zadanie0.26.
Gdysemimetryki
d
j
s¡ÿsilnierównowa»ne"wtymsen-
sie, »e dla pewnych staªych
C
1
;C
2
>
0 mamy
C
1
d
1
¬
d
2
¬
C
2
d
1
, wykaza¢,
»e generuj¡ one jednakowe topologie, takie same rodziny zbiorów ograniczo-
nych,klasyci¡gówCauchy'egoirównowa»nemetrykiHausdora.Jakierelacje
zachodz¡mi¦dzytopologiamimetrykspeªniaj¡cychwarunek
d
1
¬
d
2
?
1+
d
utworzonezmetryki
d
s¡równie»metrykamiideniuj¡topologi¦tak¡,
jakmetryka
d
.
Zadanie0.28.
Niech
F
: R
+
!
R
+
b¦dzie funkcj¡ subaddytywn¡:
F
(
s
+
t
)
¬
F
(
s
)+
F
(
t
),niemalej¡c¡,tak¡,»e
F
(0)=0
;F
(
t
)
>
0
8
t >
0.Gdy
d
jestmetryk¡naprzestrzeni
X
,wykaza¢,»erównie»
d
1
:=
F
d
jestmetryk¡.
Gdyponadtopochodnaprawostronna
F
0
+
(0) jest
>
0,to topologie metryk
d
oraz
d
1
s¡takiesame.
j
f
(
x
)
g
(
x
)
j
.
Czy jest to metryka? Narysowa¢ sum¦ mnogo±ciow¡ wykresów funkcjiz kuli
f
f
:
X
(
f;r
)
<
1
2
g
,gdy
r
(
t
)=
p
t;X
=[0
;
1].
Zadanie0.24.
Niech
U
b¦dzie dowolnie wybranym otwartym (w to-
pologii naturalnej), ograniczonym otoczeniem zera w przestrzeni R
k
. Niech
U
n
:=
f
x
2
R
k
:
nx
2
U
g
idlawektoraowspóªrz¦dnychwymiernych:
q
2
C).
Zadanie0.27.
Wykaza¢,»epewnefunkcjeograniczone-np.min
f
d;
1
g
lub
d
Zadanie0.29.
W przestrzeni
M
(
X
) funkcji ograniczonych, o warto-
±ciach rzeczywistych na zbiorze
X
niech
X
(
f;g
) := sup
x
2
X
[ Pobierz całość w formacie PDF ]