przybliżenie semiklasyczne, Fizyka, mechanika kwantowa

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
14 Przybli»enie semiklasyczne
W tym rozdziale rozwa»ymy rachunek przybli»ony, który opiera si¦ na rozwini¦ciu funkcji
falowej w szereg pot¦g stałej Plancka. Zakłada si¦ przy tym jawnie , »e¹
h
jest małym
parametrem (co to znaczy „mały” parametr wymaga oczywi±cie u±ci±lenia). Gdyby¹
h
było równe zeru, odtworzyliby±my mechanik¦ klasyczn¡. Ograniczenie si¦ do kilku pier-
wszych pot¦g¹
h
jest st¡d nazywane
przebli»eniem semiklasycznym
. W literaturze znane
jest ono tak»e po nazw¡ przybli»enia WKB od nazwisk jego twórców: Wentzla, Kramersa
i Brillouina.
Warto te» pami¦ta¢, »e uzyskane t¡ metod¡ wyra»enia na kwantyzacj¦ energii, były
znane wcze±niej jako warunki kwantyzacji Bohra-Sommerfelda. Warunki te we wczesnym
okresie rozwoju mechaniki kwantowej usiłowano zgadn¡¢ na podstawie pewnych zało»e«;
tu wyprowadzimy je ±ci±le.
14.1 Ogólna posta¢ funkcji falowej
Punktem wyj±ciowym jest zale»ne od czasu równanie Schrödingera
@t
=
¡
¹
h
2
i
¹
h

~
r
2
Ã
+
V
(
~r
)
Ã:
(14.1)
2
m
Poniewa» interesuje nas stan zwi¡zany o zadanej energii
E
funkcj¦
Ã
zapiszemy w postaci:
Ã
(
~r;t
)=
Ae
¡i
(
Et¡S
(
~r
))
=
¹
h
:
(14.2)
Równanie (14.1) mo»na przepisa¢ jako równanie na faz¦
S
:
³
~
rS
(
~r
)
´
2
1
2
m
¡
(
E¡V
(
~r
))
¡i
¹
h
2
m
~
r
2
S
(
~r
)=0
:
(14.3)
W przypadku jednowymiarowym, do którego si¦ teraz ograniczymy, równanie (14.3) przyj-
muje posta¢:
S
0
2
¡
2
m
(
E¡V
)
¡i
¹
hS
00
=0
;
(14.4)
gdzie prim oznacza ró»niczkowanie po
x
.
Przybli»enie, które teraz zrobimy, polega na rozwini¦ciu fazy
S
w pot¦gi¹
h
. Warto w
tym miejscu zauwa»y¢, »e rozwini¦cie to ma nieco inny charakter ni» rozwini¦cie omawiane
w rozdziale (??), ze wzgl¦du na to, »e¹
h
jest parametrem wymiarowym. W praktyce
ograniczymy si¦ do pierwszej pot¦gi¹
h
:
S
=
S
0

hS
1
+
:::;
(14.5)
co daje
S
0
2
0
+2¹
hS
0
0
S
0
1
+
:::¡
2
m
(
E¡V
)
¡i
¹
hS
00
0
+
:::
=0
:
(14.6)
Prównuj¡c współczynniki przy kolejnych pot¦gach¹
h
otrzymujemy dwa równania:
S
0
0
=
§
p
2
m
(
E¡V
)
;
S
00
0
=
¡
2
iS
0
0
S
0
1
:
(14.7)
64
 Jak wida¢
S
0
0
ma sens
klasycznego
p¦du cz¡stki poruszaj¡cej si¦ w potencjale
V
(
x
). Pier-
wsze z równa« (14.7) daje si¦ łatwo scałkowa¢:
x
Z
dx
0
p
S
0
(
x
)=
§
2
m
(
E¡V
(
x
0
))+const.,
(14.8)
gdzie stała const. zwi¡zana z doln¡ granic¡ całkowania, redefiniuje i tak na razie dowoln¡
stał¡
A
z rówania (14.2) i dlatego mo»e zosta¢ pomini¦ta. Drugie z równa« (14.7) daje
si¦ te» prosto scałkowa¢
S
00
0
S
0
0
=
d
dx
ln
S
0
0
=
¡
2
iS
0
1
(14.9)
i dalej
S
1
(
x
)=
i
2
ln
S
0
0
(
x
)=
i
2
ln
p
(
x
)
:
(14.10)
Warto zauwa»y¢, »e równanie na
S
1
nie zale»y od znaku
S
0
(znak ten upraszcza si¦ w
(14.9)), a ewentualna stała addytywna znowu mo»e zosta¢ wci¡gni¦ta do
A
.
Podsumowuj¡c, ogólna posta¢ funkcji falowej
Ã
dana jest jako
x
R
dx
0
p
2
m
(
E¡V
(
x
0
))
e
¡
ln
4
p
2
m
(
E¡V
(
x
))
=
A
§
Ã
(
x
)=
A
§
e
§
i
¹
h
x
R
dx
0
p
2
m
(
E¡V
(
x
0
))
:
(14.11)
4
p
2
m
(
E¡V
(
x
))
e
§
i
¹
h
Poniewa» wielko±¢
E¡V
(
x
)mo»e przyjmowa¢ warto±ci ujemne i dodatnie, warto wprowadzi¢
oznaczenia
p
k
(
x
)=
1
¹
h
2
m
(
E¡V
(
x
))dla
x
1
<x<x
2
p
·
(
x
)=
1
¹
h
2
m
(
V
(
x
)
¡E
)dla
x<x
1
lub
x
2
<x;
(14.12)
gdzie
x
1
;
2
s¡ klasycznymi punktami zwrotu.
14.2 Posta¢ funkcji falowej
Zapiszmy funkcj¦ (14.11) w obszarach
I
) i
II
):
2
p
¹

(
x
)
e
¡
x
1
R
Ã
I
(
x
)=
A
dx
0
·
(
x
0
)
;
x
i
x
R
x
1
¡i
x
R
x
1
II
(
x
)=
C
1
dx
0
k
(
x
0
)
+
C
2
dx
0
k
(
x
0
)
Ã
(1)
p
¹
hk
(
x
)
e
p
¹
hk
(
x
)
e
;
(14.13)
gdzie dla funkcji
Ã
I
wybrali±my znak "
¡
"w eksponencie, aby znikała dla
x!¡1
, a
czynnik 2 w normalizacji został dodany dla pó¹niejszej wygody. Index(1)przy funkcji
65
 Ã
II
oznacza, »e w całce po
dx
0
za doln¡ granic¦ wybrali±my
x
1
. Zauwa»my, »e funkcj¦
falow¡ w obszarze
II
) mo»emy zapisa¢ inaczej
p
¹
hk
(
x
)
e
i
x
2
R
p
¹
hk
(
x
)
e
¡i
x
2
R
II
(
x
)=
D
1
+
D
2
dx
0
k
(
x
0
)
dx
0
k
(
x
0
)
Ã
(2)
:
(14.14)
x
x
I wreszcie w obszarze
III
)
¡
x
R
x
2
dx
0
·
(
x
0
)
Ã
III
(
x
)=
B
2
p
¹

(
x
)
e
:
(14.15)
14.3 Warunki zszycia
Wyprowadzon¡ w poprzednim paragrafie posta¢ funkcji falowej u»yjemy do opisu cz¡stki
w trzech obszarach
I
) na lewo od punktu zwrotu
x
1
,
II
) mi¦dzy punktami zwrotu
x
1
<
x<x
2
i
III
) na prawo od punktu
x
2
. Zauwa»my, »e przybli»enie (14.11) nie stosuje si¦ w
punktach zwrotu i w pewnych otoczeniach wokół punktów zwrotu. Poniewa», aby uzyska¢
funkcj¦ falow¡ dla wszystkich
x
-ów, musimy dokona¢ zszycia fragmentów funkcji falowej
zadanych w poszczególnych obszarach, zachodzi potrzeba zastosowania jakiego± innego
przybli»enia, słusznego w punktach zwrotu i w najbli»szym ich otoczeniu. Najprostszym
rozwi¡zaniem jest przybli»enie potencjału przez lini¦ prost¡
V
(
x
)=
E¡F
1
(
x¡x
1
)+
:::
dla
x»x
1
;
V
(
x
)=
E
+
F
2
(
x¡x
2
)+
:::
dla
x»x
2
;
(14.16)
gdzie
F
1
;
2
>
0. W tym przybli»eniu równanie Schrödingera redukuje si¦ do równania
Bessela i mo»na go dokładnie rozwi¡za¢. Otrzymane w ten sposób rozwi¡zanie mo»na
nast¦pnie zszy¢ z funkcj¡ falow¡ (14.11) po lewej i po prawej stronie punktów zwrotu.
Metoda ta opisana jest w podr¦czniku Schia.
My post¡pimy jednak inaczej: obejdziemy osobliwo±¢ funkcji (14.11) po małym okr¦gu
w płaszczy¹nie zespolonego
x
. Jest to metoda opisana w podr¦czniku Landaua i Lifszica.
Dla
x
bliskich
x
1
zachodzi
k
(
x
)=
1
¹
h
p
2
mF
1
(
x¡x
1
)
1
=
2
;
p
·
(
x
)=
1
¹
h
2
mF
1
(
x
1
¡x
)
1
=
2
:
(14.17)
W konsekwencji
x
Z
p
dx
0
k
(
x
0
)=
2

h
2
mF
1
(
x¡x
1
)
3
=
2
;
x
1
Z
x
1
p
dx
0
·
(
x
0
)=
2

h
2
mF
1
(
x
1
¡x
)
3
=
2
(14.18)
x
66
I
II
III
j = 0
-p
+p
j = 0
x
1
x
2
+p
-p
Przechodz¡c od obszaru
I
do
II
napotykamy na osobliwo±¢ zwi¡zan¡ z zerem
·
(
x
). Aby
j¡ omin¡¢ przyjmiemy
x
1
¡x
=
½e
i'
;
(14.19)
przy czym
'
=0dla
x<x
1
i zmienia si¦ od 0 do
¡¼
, je»eli poruszamy si¦ od
I
do
II
po małym okr¦gu o promieniu
½
zgodnie z ruchem wskazówek zegara a» do
x>x
1
, lub
od 0 do
¼
, je»eli poruszamy si¦ po dolnym półokr¦gu w stron¦ przeciwn¡ ni» wskazówki
zegara. Przechodz¡c po górnym półokr¦gu mamy zatem
x
1
dx
0
·
(
x
0
)=
2
p
2
mF
1

h
½
3
=
2
!
2
p
2
mF
1
Z

h
½
3
=
2
e
¡i
3
¼
2
x
=
2
p
2
mF
1
x
Z

h
(
x¡x
1
)
3
=
2
i
=
i
dx
0
k
(
x
0
) (14.20)
x
1
Podobnie czynnik
p
¹

(
x
)=
4
p
2
mF
1
(
x
1
¡x
)
1
=
4
¡!
4
p
2
mF
1
(
x¡x
1
)
1
=
4
e
¡i
¼
4
p
¹
hk
(
x
)
e
¡i
¼
4
:
=
(14.21)
W sumie otrzymujemy, »e:
¡i
x
R
x
1
x
1
R
x
¡!
Ae
i
¼
4
Ã
I
(
x
)=
A
dx
0
k
(
x
0
)
dx
0
·
(
x
0
)
¡
2
p
¹

(
x
)
e
2
p
¹
hk
(
x
)
e
:
(14.22)
Widzimy, »e dokonuj¡c obej±cia osobliwo±ci po górnym półokr¦gu odtwarzamy tylko jeden
fragment funkcji falowej w obszarze
II
, przy czym zachodzi
C
2
=
1
2
Ae
i
¼
4
:
(14.23)
67
Obchodz¡c osobliwo±¢ po dolnym półokr¦gu otrzymujemy
dx
0
·
(
x
0
)=
2
p
2
mF
1

h
½
3
=
2
¡!
2
p
2
mF
1
Z
x
1

h
½
3
=
2
e
i
3
¼
2
x
=
2
p
2
mF
1
x
Z

h
(
x¡x
1
)
3
=
2
(
¡i
)=
¡i
dx
0
k
(
x
0
) (14.24)
x
1
oraz
p
¹

(
x
)=
4
p
2
mF
1
(
x
1
¡x
)
1
=
4
¡!
4
p
2
mF
1
(
x¡x
1
)
1
=
4
e
+
i
¼
4
p
¹
hk
(
x
)
e
+
i
¼
4
:
(14.25)
Z ròwna« (14.24,14.25) wynika, »e
x
R
x
1
R
x
¡!
Ae
¡i
¼
4
dx
0
k
(
x
0
)
Ã
I
(
x
)=
A
i
dx
0
·
(
x
0
)
¡
2
p
¹

(
x
)
e
2
p
¹
hk
(
x
)
e
:
(14.26)
x
1
Zatem obchodz¡c osobliwo±¢ po dolnym półokr¦gu odtworzyli±my drugi składnik funkcji
falowej w obszarze
II
, przy czym
C
1
=
1
2
Ae
¡i
¼
4
:
(14.27)
Zanim podstawimy warto±ci
C
1
i
C
2
do równania (14.13) spróbujmy zastanowi¢ si¦,
dlaczego obchodz¡c osobliwo±¢ gór¡ lub dołem odtwarzamy tylko jeden fragment funkcji
falowej w obszarze
II
. W tym celu warto prze±ledzi¢ zmian¦ pełnej funkcji falowej (14.13)
przy przej±ciu w stron¦ przeciwn¡, to jest z obszaru
II
do obszaru
I
. W obszarze
II
w
pobli»u
x
=
x
1
x
Z
µ

§i
cos
3
'
0
2
¨
sin
3
'
0
dx
0
k
(
x
0
)

3
=
2
§i
;
(14.28)
2
x
1
przy czym
'
0
zmienia si¦ od0do
¼
dla przej±cia gór¡ lub0do
¡¼
dla przej±cia dołem.
Rozwa»my przej±cie gór¡. Decyduj¡cy jest tu czynnik:
sin
3
'
0
2
;
(14.29)
który na pocz¡tku maleje dla cz¦±ci proporcjonalnej do
C
1
(znak+w eksponencie), nato-
miast ro±nie dla cz¦±ci proporcjonalnej do
C
2
(znak
¡
w eksponencie). St¡d przy obej±ciu
gór¡ człon proporcjonalny do
C
1
„gubi” si¦ na tle rosn¡cego członu proporcjonalnego do
C
2
. Przybli»enie semiklasyczne nie pozwala na utrzymanie wrazu eksponencjalnie małego
na tle członu wiod¡cego. Dla przej±cia dołem sytuacja si¦ odwraca i „gubi” si¦ człon
proporcjonalny do
C
2
:
68
[ Pobierz całość w formacie PDF ]