przygotowawcze2, RP I, Kartkowki i Zadania, 2009

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->Zadania przygotowawcze do kolokwium poprawkowego zRachunku Prawdopodobie«stwa WNEUwaga: pojawiªy si¦ odpowiedzi.1. Zmienna losowachoªkach(X,Y)ma rozkªad jednostajny na trójk¡cie(0, 0),(1, 0),(1, 1). Obliczy¢P(Y<(X−1)2).ABCo wierz-2. Po wierzchoªkach trójk¡ta równobocznegoprawdopodobie«stwemw punkcieporusza si¦ pionek, wka»dym ruchu przeskakuj¡c do jednego z s¡siaduj¡cych wierzchoªków z1/2.W chwili pocz¡tkowej pionek znajduje si¦Obliczy¢A.NiechXoznacza numer ruchu, w którym pionek po razpierwszy dotrze do punktu3. Zmienna losowaC.P(X≥10)orazEX.Xma rozkªad z g¦sto±ci¡1g(x)=x21[0,3](x).9Wyznaczy¢ g¦sto±¢ rozkªadu zmiennejX2+1.4. Ze zbioru»e ka»da1{0,1, 2}losujemy100liczb. Jakie jest prawdopodobie«stwo,z liczb,1,2zostanie kiedy± wylosowana?X,Ys¡ niezale»ne i maj¡ rozkªad wykªadniczy z pa-Wyznaczy¢5. Zmienne losowerametrem1.X/(X+Y).E(X+Y)2oraz g¦sto±¢ rozkªadu zmiennej6. Zmienna losowa(X,Y)ma rozkªad z g¦sto±ci¡g(x, y)= 3x1{|y|≤1−x≤1}.Obliczy¢le»ne?7. Z urny, zawieraj¡cejP(X≤Y)orazEY.Czy zmienneX,|Y |/(1 −X)1s¡ nieza-nkul ponumerowanych liczbami oddon,ci¡-gniemy kolejno kule bez zwracania. Niechw którym wyci¡gni¦to kul¦ z numeremktórym wyci¡gni¦to kul¦ z numeremznaczy¢ rozkªad zmiennej8. Zmienne losoweXaoznacza numer losowania,1,n.CzyY- numer losowania, wX,Ys¡ niezale»ne? Wy-max(X,Y).min(X,Y),X,Ys¡ niezale»ne i maj¡ rozkªady z dystrybuantamiWyznaczy¢ dystrybuanty zmiennychFX,FY, odpowiednio.max(X,Y).9. Zmienna losowa(X,Y)ma rozkªad jednostajny na trójk¡cie o wierz-choªkach(1, 1),(−1, 1),(−1,−1). Wyznaczy¢ rozkªad zmiennejX+Yoraz Cov(X,Y).110. Rzucamy100razy dwiema sprawiedliwymi monetamicze±nie. jakie jest prawdopodobie«stwo, »e naM1,M2jedno-monecieM1i monecieM2wypadnie tyle samo orªów?11. Zmienna losowa(X,Y)ma rozkªad z g¦sto±ci¡x2+ 2xy + 3y22g(x, y)=exp−2π2Wyznaczy¢ rozkªad zmiennej√.X+7oraz macierz kowariancji zmiennej(X +Y, X−Y).niezale»ne?12. Ze zbioruDla jakiej warto±ciazmienneX+Y,X+aYs¡{1,2,. . . ,10}losujemy liczb¦.2.Nast¦pnie, je±li jest ona parzy-sta, to rzucamy sprawiedliw¡ monet¡ i je±li wypadnie orzeª - dzielimyliczb¦ przezJakie jest prawdopodobie«stwo tego, »e ko«cow¡ liczb¡ b¦dzie9lub10?13. Zmienna losowa(X,Y)ma rozkªad z g¦sto±ci¡g(x, y)= 12x2y31{0≤x,y≤1}.Wyznaczy¢ wspóªczynnik korelacji zmiennychX+YiX+ 2Y.X14. Rzucamy sprawiedliw¡ monet¡ i je±li wypadª orzeª, losujemy liczb¦z przedziaªu[0, 1],je±li reszka - przedziaªu[0, 2].a) Wyznaczy¢ rozkªad zmiennejb) Zaªó»my, »ereszk¦?15. Zmienna losowaX.X≤1/2.(X,Y)Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e wyrzuconoma rozkªad z g¦sto±ci¡g(x, y)=e−2x1{0≤y≤2x}.Obliczy¢P(X+Y≤3)noraz Cov(X,Y).kul ponumerowanych liczbami od16. Z urny, zawieraj¡cej1don,ci¡-gniemy kolejno kule bez zwracania. Niechczy¢Xoznacza liczb¦ tych loso-wa«, których numer jest wi¦kszy ni» numer wylosowanej kuli. Wyzna-EX.17. Pewien student, doje»d»aj¡c na uczelni¦, jedzie poci¡giem, a nast¦p-nie przesiada si¦ do autobusu. Poci¡g odje»d»a o godzinie 7:00 i czaspodró»y (w minutach) ma rozkªad jednostajny na przedzialestajny na przedzialeNiech[25, 35].Autobus odje»dza o 7:30 i o 7:45, i czas jego jazdy ma rozkªad jedno-[15, 20].X.2Xoznacza ª¡czny czas podró»y (razem z oczekiwaniem na auto-bus). Wyznaczy¢ rozkªad18. Zmienna losowa(X,Y)ma rozkªad normalny o ±redniej(0, 0)i macierzykowariancjiQ=Zmienna1 23 7.Wyznaczy¢Zjest niezale»na odg¦sto±¢ zmiennych(X,Y)i ma rozkªadN(0, 1).(Y,Z)orazX+Z.Odpowiedzi:√(3− 5)21.4+√( 5−1)3.122.3.Xma rozkªad Geom(1/2). St¡dP= 1/29iE= 2.11−1·t11[1/10,1](t).218t124.1−[3·(3)100−3·(3)100].X5.E= 6,X+Yma rozkªadU(0,1).16.P=8,E= 0. Zmienne s¡ niezale»ne.f(t) =7. Zmienne s¡ zale»ne.8.9.P(max(X,Y) =k)=FX+FY−FXFY,FXFY.g(t)=1(1−|t|)1[−2,2](t), Cov=1.22912002(k−1),n(n−1)k= 2, 3,. . . , n.10.2200100.311.X+ 7∼ N(7,2),Q(X+Y,X−Y )=zmienne s¡ niezale»ne dla12.20.53913.√14. a)15.16.36−2−22,a=−1.21283·1051.b)3.g(x)=31[0,1](x) +11(1,2](x),441P=2−3e−2+1e−6, Cov=1.442n−1.217. DystrybuantaXtoFX(t) =1·21212dlat−45,5t−605dladladladla+1·2118. Mamyt <45,t∈[45, 50),t∈[50, 60),.t∈[60, 65),t≥65.1y2z2√exp− −g(Y,Z)(y,z)=1422π·731t2, gX+Z(t) =√exp−42π. [ Pobierz całość w formacie PDF ]